Könnte eine undichtigkeit im Auspuffsystem sein, welches sich abdichtet wenn das Metall sich erhitzt und ausdehnt. Folglich ist es wieder dicht.
Solang der Motor kalt ist, könnte man evtl den Abgasstrom mit der Hand spüren, sofern man hinkäme. Sobald der Motor warm ist, spürt man nur noch die Abwärme.

Wäre ja nur eine Vermutung.

Hätte jedenfalls keine drastischen Folgeschäden.
Prüfen würde ich das aber besser umgehend in einer Werkstatt. Unmittelbar am Auto kann man eine bessere Einschätzung abgeben, bzw es gleich lokalisieren.

Dieses Geräusch ist zu 100% die Zahnriemenspannrolle.

Ganz typisch beim EA288, gibts hier auch genug Threads..
und bei VW Baujahr-abhängig mehrere TPI's für.

Auf jeden eine Rolle Mal etwas sprüh sprüh und schon lokalisiert, wenn ruhig ist.

Die Kosten hängen von zu vielen verschiedenen Faktoren ab
und lassen sich so pauschal nicht sagen.

Kommt in erster Linie auch drauf an, inwieweit dein Motor in die TPI hereinfällt.
Ob nur die Spannrolle getauscht wird, nur der Riemen, oder beides..., oder ob du bei der Laufleistung gleich den ganzen Zahnriemensatz mit WaPu machen lässt.

Vielleicht hast ja auch Glück
und bei dir reichts aus nur die Zahnriemenkante mit Silikongleitmittel zu besprühen,
wie es in der TPI für bestimmte Zahnriemen-Spannrolle-Kombinationen angedacht ist...

Und ja, kannst so weiterfahren.